Auxiliar Administrativo

Bem vindx à mais uma aula do curso de Auxiliar Administrativo!

Hoje veremos a primeira parte do conteúdo de matemática financeira.

Se quiser aessar o material anteriormente produzido e utilizado, basta clicar aqui: Material - Aula 03

Sugiro, para estudos complementares deste curso o material descrito nas referências bibliográficas, em especial:

BACARJI, A. G. Formação Inicial e Continuada: Auxiliar Administrativo

JUNIOR, R. Matemática Financeira

VIANNA, R. de M. I. Matemática Financeira

Vamos começar!

Sumário da Aula

  1. Matemática Financeira
  2. Razão e Proporção
  3. Regra de Três Simples
  4. Regra de Três Composta
  5. Porcentagem
  6. Exercícios
  7. Referências Bibliográficas

Matemática Financeira

A Matemática Financeira é bastante utilizada para avaliar aplicações financeiras e econômicas.

As fórmulas e ferramentas possibilitadas por essa área permitem utilizações diversas: desde analisar se um investimento irá gerar um bom lucro para o investidor, até mesmo nos ajudar no dia a dia a escolher o melhor produto para comprar-mos.

Razão e Proporção

A noção de relação algébrica em matemática financeira é importante para representar de modo geral as relações que estabeleceremos entre o dinheiro, os juros e o tempo. Em muitos casos iremos utilizar o conceito de razão e proporção.

O conceito de razão nada mais é, em matemática, do que uma divisão entre dois números, a e b.

$\frac{a}{b}=a:b=a/b$

Esta razão pode ser ser representada como uma fração($\frac{a}{b}$) ou como um número decimal.

Vamos pensar, por exemplo, nas seguintes frações:

a) $\frac{15}{5}$
b) $\frac{10}{5}$
c) $\frac{5}{5}$
d) $\frac{3}{5}$
e) $\frac{1}{5}$

Estas frações podem ser representadas como números decimais. Para isto basta dividir o numerador (“número de cima”) pelo denominador (“número de baixo”). Nos exemplos mostrados teríamos:

a) $\frac{15}{5}=3$
b) $\frac{10}{5}=2$
c) $\frac{5}{5}=1$
d) $\frac{3}{5}=0,60$
e) $\frac{1}{5}=0,20$

Regra de Três Simples

A Regra de Três é uma maneira simples e fácil de resolver problemas que envolvem calcular valores desconhecidos quando já dispomos de 3 valores conhecidos.

Exemplo Prático 01: Um Boeing 737 consegue transportar, em média, 215 passageiros por viagem. Quantos aviões deste modelo são necessários para transportar os 786 moradores de Serra da Saudade, a cidade com a menor população do Brasil?

Exemplo Prático 02: Mariana fez uma viagem de carro para a cidade de seus avós. Sabendo que com o carro a 100km/h ela levou 5 horas para chegar à cidade de seus avós, em quanto tempo ela faria a mesma viagem se o seu carro estivesse a 150km/h?

Problemas envolvendo regras de três podem ser facilmente resolvidos em algumas etapas.

Primeira Etapa: Relacionar as Grandezas

Para resolver problemas envolvendo regras de três, devemos, primeiramente, relacionar as grandezas envolvidas no problema, como diretamente ou inversamente proporcionais – em relação à incógnita.

Uma grandeza nada mais é do que algo que pode ser medido: quantidade de pães, dinheiro, tamanhos, pesos, quantidades, etc.

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento em uma provoca um aumento na outra.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento em uma provoca uma redução na outra.

Vamos analisar os exemplos dados:

Exemplo Prático 01: se nós aumentarmos a quantidade de aviões () iremos aumentar, também, a quantidade de passageiros (). Neste caso as grandezas são diretamente proporcionais.

Exemplo Prático 02: quanto mais rápido for o carro, ou seja, quanto maior for a velocidade () em menos tempo Mariana irá chegar na casa de seus avós (). Neste caso as grandezas são inversamente proporcionais.

Segunda Etapa: Relacionar os Valores

Após relacionar as grandezas, basta relacionar os valores em uma proporção. Para facilitar, tente montar uma tabela com os dados informados no problema.

Exemplo Prático 01:

nº de Aviões nº de Passageiros
1 215
x 786

Exemplo Prático 02:

Velocidade Tempo
100 5
150 x

Terceira Etapa: Calcular

Com as tabelas já feitas, podemos, finalmente, calcular os resultados.

Para resolver a regra de três basta realizar a multiplicação cruzada das grandezas desconhecidas.

Quando tivermos grandezas diretamente proporcionais, basta montar a regra de três exatamente como se encontra a tabela feita anteriormente.

Quando temos grandezas inversamente proporcionais, devemos inverter as colunas onde se encontra a incógnita, de modo a deixar todas as grandezas diretamente proporcionais.

Vamos resolver, primeiramente, o Exemplo 01:

nº de Aviões nº de Passageiros
1 215
x 786

Para calcular o valor de x basta montar a proporção:

$\frac{1}{x} = \frac{215}{786}$

$ x * 215 = 1 * 786$

$ x = \frac{1 * 786}{215}$

$ x \approx 3,66$

Antes de calcularmos o Exemplo 02, precisaremos realizar algumas modificações na nossa tabela:

Velocidade Tempo
100 5
150 x

Para efetuar os cálculos devemos, primeiramente, inverter uma das duas colunas. Repare agora que as duas setas () estão apontando para a mesma direção:

Velocidade Tempo
100 x
150 5

Agora é só realizar o cálculo normalmente!

$\frac{100}{150} = \frac{x}{5}$

$ 100 * 5 = 150 * x$

$ x = \frac{500}{150}$

$ x \approx 3,33$

Quarta Etapa: Avaliar

Após realizarmos as operações é sempre bom fazermos a seguinte pergunta: “minha resposta faz sentido?”.

As respostas precisam ser coerentes com a natureza de cada problema.

Pensando nos exemplos acima, para o primeiro problema tivemos como resposta o número 3,66. Devemos nos lembrar que este número indica a quantidade de aviões necessários para transportar os 786 passageiros.

Esse número contém uma parte inteira (3) e uma parte decimal (0,66). Isso significa que vamos precisar de 3 aviões inteiros e 0,66 outro avião. Isso faz sentido?

Do ponto de vista prático não, pois não dá para pegarmos uma avião, dividir ele em vários pedaços e utilizar 0,66 pedaços do mesmo. Assim, nesse exemplo, é mais prático indicar que são necessários 4 aviões.

Matematicamente, podemos indicar apenas o número 3,66.

Já o segundo exemplo teve como resposta o número 3,33. Este número indica a quantidade de horas que Mariana irá levar para chegar na cidade de seus avós.

Esse número contém uma parte inteira (3) e uma parte decimal (0,33). Isso significa que vamos precisar de 3 horas e 0,33 partes de uma hora para fazer a viagem. Isso faz sentido?

Neste caso faz, pois podemos dividir uma hora em unidades menores, como minutos ou segundos. Na verdade 0,33 horas representam 20 minutos. Ou seja: Mariana irá levar 3 horas e 20 minutos para fazer a sua viagem.

Regra de Três Composta

Regras de Três que possuem mais de duas grandezas são chamadas de compostas. Não há segredo em resolvê-las.

Para exemplificar o processo vamos analisar 2 exemplos:

Exemplo Prático 03: Utilizando 5 impressoras, os 15 funcionários de uma gráfica conseguem produzir 300 livros em um dia. Quantos livros 10 funcionários conseguirão produzir de utilizarem 10 impressoras?

Exemplo Prático 04: Os 4 confeiteiros de uma padaria conseguem produzir, em 6 dias, 72 bolos de aniversário. Quantos confeiteiros precisamos para produzir 96 bolos de aniversário em 3 dias?

Vamos resolver estes problemas seguindo o passo-a-passo já mostrado acima.

Primeira Etapa: Relacionar as Grandezas

Exemplo Prático 03: Se aumentarmos a quantidade de impressoras () poderemos aumentar a quantidade de livros () e de funcionários ().

Exemplo Prático 04: Quanto mais confeiteiros tiver na padaria () mais bolos de aniversário eles irão fazer () em menos tempo ().

Segunda Etapa: Relacionar os Valores

Exemplo Prático 03:

nº de Impressoras nº de Funcionários nº de Livros
5 15 300
10 10 x

Exemplo Prático 04:

nº de Confeiteiros nº de Dias nº de Bolos
4 6 72
x 3 96

Terceira Etapa: Calcular

Os cálculos das regras de três compostas envolvem um pequeno detalhe: antes de fazermos a multiplicação cruzada devemos relacionar as colunas da tabela.

Para isso basta montar uma regra de três como a mostrada a seguir:

nº de Impressoras nº de Funcionários nº de Livros
5 15 300
10 10 x

$\frac{5}{10} * \frac{15}{10} = \frac{300}{x}$

Após montar a regra de três, devemos multiplicar os valores da primeira parte da nossa igualdade: $\frac{5}{10}$ e $\frac{15}{10}$.

Lembrando que a multiplicação de frações deve ser feita por partes: os numeradores devem ser multiplicados entre si, assim como os denominadores. Ou seja:

$\frac{5}{10} * \frac{15}{10} = \frac{5 * 15}{10 * 10} = \frac{75}{100}$

Agora basta realizar as operações normalmente:

$\frac{75}{100} = \frac{300}{x}$

$75 * x = 100 * 300$

$x = \frac{100 * 300}{75} = 400$

Grandezas Inversamente Proporcionais

Assim como as regras de três simples, quando tivermos grandezas inversamente proporcionais devemos, antes de calcular, reordenar as colunas de modo a deixar todas elas diretamente proporcionais.

nº de Confeiteiros nº de Dias nº de Bolos
4 6 72
x 3 96

O resultado da tabela acima, após ordenado é:

nº de Confeiteiros nº de Dias nº de Bolos
4 3 72
x 6 96

Efetuando as operações, tem-se:

$\frac{4}{x} = \frac{3}{6} * \frac{72}{96}$

Após montar a regra de três, devemos multiplicar os valores da primeira parte da nossa igualdade: $\frac{3}{6}$ e $\frac{72}{96}$.

$\frac{3}{6} * \frac{72}{96} = \frac{3 * 72}{6 * 96} = \frac{216}{576}$

Agora basta realizar as operações normalmente:

$\frac{4}{x} = \frac{216}{576}$

$4 * 576 = x * 216$

$2304 = 216 * x$

$x = \frac{2304}{216} = 10,66$

Precisamos, então de aproximadamente 11 confeiteiros para atendera à demanda solicitada.

Porcentagem

Em muitos exemplos do dia a dia utilizamos razões em que o denominador é o numero 100. Temos aí as porcentagens.

Ao dividir qualquer número por 100 você obtém como resultado 1% daquele número. A partir daí fica muito fácil encontrar o percentual de qualquer número.

$\frac{x}{100}$ = 1% de x

Para calcular qualquer porcentagem basta dividir o número por 100 e multiplica-lo pelo percentual desejado.

Exemplo 01: 30% de 150 = $\frac{150}{100} * 30 = 1,5 * 30 = 45$

Exemplo 02: 21% de 300 = $\frac{300}{100} * 21 = 63$

É importante ressaltar a comutatividade das porcentagens: X% de Y = Y % de X.

Exemplo 03: 5% de 200 = $\frac{200}{100} * 5 = 2 * 5 = 10$

Exemplo 04: 200% de 5 = $\frac{5}{100} * 200 = 0,05 * 200 = 10$

Representação de Porcentagens

Outra técnica que pode facilitar sua vida no estudo de porcentagem é transformar a linguagem de percentuais em fração. Veja um exemplo:

40% de 250 = $\frac{250}{100} * 40 = \frac{250}{100} * \frac{40}{1} = \frac{250 * 40}{100 * 1} = \frac{10000}{100} = 100$

Podemos transformar qualquer porcentagem em um número decimal ao efetuar as divisões necessárias:

25% de 160 = $\frac{160}{100} * 25 = \frac{4000}{100} = 40$

Porcentagens maiores que 100%

Uma dúvida comum entre muitos é sobre o cálculo de porcentagens maiores que 100%.

Para facilitar o raciocínio, lembre que 100% de uma barra de chocolate, por exemplo, é uma barra inteira dividida em 100 partes.

Cada parte representa 1%.

150% da uma barra de chocolate equivale a uma barra (100%) mais metade de outra barra (50%)

Assim podemos raciocinar para quando se tratarem de exemplos como estes.

Resolvendo problemas de porcentagem

Os cálculos de porcentagem podem ser facilmente feitos utilizando-se regras de três.

Para isso basta identificar corretamente os valores e as porcentagens indicadas nos problemas e montar uma regra de três com grandezas proporcionais.

Exemplo 05: O preço de um produto comprado à prazo em uma loja é 5,3% maior que o preço do mesmo produto comprado à vista. Sabendo que João realizou a compra de uma televisão nesta loja, pagando-a em 4 prestações iguais de R$ 210,60, calcule o preço da mesma televisão quando comprada à vista.

Primeiramente devemos calcular o preço total da TV: 4 * 210,60 = R$ 842,40.

Este valor corresponde ao preço à vista da TV (100%) somado com os 5,3%. Assim sendo, podemos montar a tabela a seguir:

Preço Porcentagem
842,40 105,3%
x 100%

Montando as proporções e efetuando as opereções temos: x = R$800,00

Exercícios

  1. Represente as frações abaixo na forma de números decimais:
    a) $\frac{1}{5}$
    b) $\frac{2}{10}$
    c) $\frac{1}{10}$
    d) $\frac{11}{22}$
    e) $\frac{5}{0,25}$
    f) $\frac{0,15}{3}$
    g) $\frac{400}{1600}$

  2. Em cada situação abaixo, informe se as grandezas são inversamente ou diretamente proporcionais.
    a) João deseja contratar mais vendedores para sua loja. Com isso suas vendas irão aumentar.
    b) Rosicleide pagou 3 faturas e ficou com 600 reais de seu salário. Se ela pagasse 4 faturas iria ficar com 400 reais.
    c) Angélica vende trufas recheadas. Utilizando 1 barra de chocolate ela consegue produzir 25 bombons. Utilizando 2 barras, ela consegue produzir 50 bombons.
    d) Caio consegue ler 20 páginas por dia, e com isso, terminar a leitura de 1 livro em 20 dias. Se ele ler 40 páginas por dia, irá terminar a leitura em 10 dias.
    e) Gustavo e seu ajudante conseguem consertar 6 automóveis por dia. Se ele contratar mais 2 ajudantes, conseguirá consertar 24 automóveis em 2 dias.

  3. João percorreu de bicicleta 150 km em 3 dias, pedalando 2 horas, diariamente. Pedalando 4 horas por dia, durante 5 dias, ele percorrerá quantos quilômetros?

  4. O investimento de 10.000,00 na melhoria da logística de uma empresa gera uma economia de 2.000,00.
    a) Para termos uma economia de 3.500,00 quanto devemos investir?
    b) Quanto tempo levaríamos para recuperar um investimento de 15.000,00 feito nas mesmas condições.

  5. Para descarregar 15 vagões de trem em uma hora e meia precisamos de 5 funcionários. Quantos funcionários serão necessários para descarregar 120 vagões em 6 Horas?

  6. O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 450,00. Para que se tenha um lucro de 20% na venda dessa mercadoria, por quanto deve-se vende-la?

  7. Numa promoção o preço de um objeto foi reduzido de R$ 920,50 para R$ 845,75. De quantos por cento foi redução?

  8. Victor recebeu um aumento de 15% e com isso seu salário chegou a R$1.322,50. Calcule o salário inicial de Victor.

  9. Em certo trimestre, as cadernetas de poupança renderam 2,5% de correção monetária. Paulo deixou R$ 2.318,00 depositados durante três meses. Quanto Paulo resgatou?

  10. João comprou uma TV à prazo, pois não podia pagar à vista. Sabendo que o valor à vista é de R$ 1500,00 e que o valor total à prazo é 12,5% maior que o valor à vista, responda: Quanto João vai pagar no total?

Referências Bibliográficas

BACARJI, Alencar Garcia. Formação Incial e Continuada Auxiliar Administrativo. Curitiba: Instituto Federal do Paraná, 2012. Disponível em https://bit.ly/3e9aqsA. Acesso em 27 de mar. de 2020.

CARAVANTES, G. R.P; KLOECKNER, C. M.; PANNO, C. Administração: teoria e processos. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005.

JUNIOR, R. J. M. Matemática Financeira. Curitiba, PR: Instituto Federal do Paraná, 2012. 176 p. Disponível em https://bit.ly/2JRzNkL. Acesso em 27 de mar. de 2020.

SÁ, C. A. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: FGV Management – Cursos de Educação Continuada. 54p. Disponível em https://bit.ly/39XbhZY. Acesso em 27 de mar. de 2020.

VIANNA, R. de M. I. Matemática financeira. Salvador: UFBA, Faculdade de Ciências Contábeis; Superintendência de Educação a Distância, 2018. 131 p. : il. Disponível em https://bit.ly/2UVPNZf. Acesso em 27 de mar. de 2020.