Aula 04 - Módulo 01 - Auxiliar Administrativo

Bem vindx à mais uma aula do curso de Auxiliar Administrativo!

Hoje veremos a segunda parte do conteúdo de matemática financeira.

Se quiser acessar o material anteriormente produzido e utilizado, basta clicar aqui: Material Aula 04

Sugiro, para estudos complementares deste curso o material descrito nas referências bibliográficas, em especial:

BACARJI, A. G. Formação Inicial e Continuada: Auxiliar Administrativo

JUNIOR, R. Matemática Financeira

VIANNA, R. de M. I. Matemática Financeira

Vamos começar!

Juros

“Juro é o valor que se paga pelo uso de dinheiro que se toma emprestado”, refere-se ao quanto será acrescentado à parcela de compra para cobrir as despesas financeiras, que por vezes é uma das partes do lucro (JUNIOR, 2012).

Juros são um conceito importantíssimo em Finanças, e fundamentalmente muito simples:

Suponhamos que você tenha pedido emprestado a um amigo a quantia de 100,00. Quando você for pagá-lo ele poderá cobrar um valor a mais, digamos 120,00 pelo empréstimo. Estes 20,00 de diferença são os juros.

Antes de analisarmos os tipos de juros e suas fórmulas, vamos analisar algumas definições.

Capital (C)

O Capital é a quantia emprestada ou investida no início da aplicação. Em nosso exemplo acima, o capital é de 100,00.

Prazo (t)

Toda aplicação financeira possui um prazo, ou seja, um período para ser finalizado. No caso de um empréstimo o prazo indica o tempo proposto para se quitar a dívida; no caso de uma aplicação, o prazo indica o período no qual o capital será resgatado.

Como estamos falando em tempo, é importante fazer algumas considerações:

1) O Calendário Civil que utilizamos no nosso dia-a-dia possui 365 dias, divididos em 12 meses. Alguns meses possuem 31 dias, outros possuem 30, e fevereiro possui 28 ou 29.

2) Toda operação financeira utiliza o Calendário Financeiro, que possui 360 dias, divididos em 12 meses com 30 dias cada.

3) Quando se tratam de prazos, o tempo deve ser contado no Calendário Civil.

Em resumo: para os conceitos financeiros, definimos que todos os meses possuem 30 dias, e que o ano possui 12 meses ou 360 dias.

Os prazos mais utilizados são dados em: mes, bimestre, trimestre, semestre e anos.

1 mês = 30 dias
2 meses = 1 bimestre = 60 dias
3 meses = 1 trimestre = 90 dias
6 meses = 1 semestre = 180 dias
12 meses = 1 ano = 360 dias

Taxa de Juros (i)

A taxa de juros representa uma porcentagem (%) sobre o capital a cada período de tempo. Parece complicado, mas é bem simples…

As taxas podem ser dadas em diferentes unidades de tempo, tais como:

ao dia = a.d.
ao mês = a.m.
ao bimestre = a.b.
ao trimestre = a.t.
ao semestre = a.s.
ao ano = a.a.

Vamos voltar ao exemplo do empréstimo de 100,00 com nosso amigo. Assim que pegamos o dinheiro emprestado, ele irá propor uma taxa - digamos de 5% a.m..

Esta taxa indica que, a cada mês (a.m.) iremos pagar ao nosso amigo juros cumulativos de 5% sobre o valor do capital.

Ou seja:

Capital = 100,00
Após 1 mês = 5% de 100,00 = 5,00
Após 2 meses = 10% de 100,00 = 10,00
Após 3 meses = 15% de 100,00 = 15,00
…

Toda taxa pode se representada como uma porcentagem (como 5%) ou da forma decimal (0,05). Repare que esta conversão para a forma decimal já foi vista na aula anterior!

Juros (J)

É a remuneração obtida pelo uso do capital por um intervalo de tempo,
isto é, é o custo do crédito obtido. Pode ser entendido também como sendo o aluguel pelo uso do dinheiro.

Os Regime de Capitalização (termo chique para juros) podem ser simples ou composto.

Em resumo, o juro é a quantia a mais que será paga em uma aplicação financeira.

Exemplo: após 6 meses do empréstimo (Capital = 100,00), pagamos ao nosso amigo uma quantia de 160,00. Os 60,00 correspondem aos juros.

Montante (M)

É a quantia em dinheiro no fim da aplicação, sendo a soma do capital
aplicado e o juro produzido em um determinado período. É também chamado de valor futuro, valor final, saldo, entre outros.

Em nosso exemplo anterior, temos que o montante de 160,00.

Aqui cabe a primeira definição: os juros (J) equivalem ao Montante (M) menos o valor do Capital (C).

$J = M - C$

Supondo que pegamos emprestado, em um banco, a quantia de 500,00 e tenhamos pago um montante de 650,00. Quanto vale os juros da aplicação?

Neste exemplos os juros serão: $J = M - C = 650 - 500 = 150,00$

Juros Simples

No Regime de Capitalização Simples a taxa de juros incide diretamente sobre o valor do capital. Sua fórmula é dada por:

$J = C * i * t$

Na fórmula acima o valor da taxa deve ser dado como um número decimal, como 0,05. Se você preferir utilizar a taxa como uma porcentagem (5%), a fórmula fica:

$J = \frac{C * i * t}{100}$

Voltando ao nosso exemplo original, supondo que a taxa proposta de juros seja de 5%, podemos analisar a variação dos juros a cada mês:

Ou seja:

Capital = 100,00
Após 1 mês = 5% de 100,00 = 5,00 + 100,00 = 105,00
Após 2 meses = 10% de 100,00 = 10,00 + 100,00 = 110,00
Após 3 meses = 15% de 100,00 = 15,00 + 100,00 = 115,00
Após 4 meses = 20% de 100,00 = 20,00 + 100,00 = 120,00
Após 5 meses = 25% de 100,00 = 25,00 + 100,00 = 125,00
Após 6 meses = 30% de 100,00 = 30,00 + 100,00 = 130,00
…

Juros Compostos

No Regime de Capitalização Composta, a taxa de juros incide diretamente sobre o valor do montante do período anterior. É também chamado de Juros Compostos.

Este regime de juros geralmente produz um melhor retorno financeiro, sendo, por isto, muito utilizado em operações bancárias.

A fórmula dos juros compostos, ao contrário da de juros simples produz como resultado o montante.

$M = C * (1+i)^t$

Esta fórmula, apesar de simple, possui uma importante particularidade:

O valor da taxa (i) deve, obrigatoriamente ser dado como um valor decimal.

Para exemplificar o uso desta fórmula, iremos analisar o mesmo exemplo visto anteriormente, só que desta vez utilizando juros compostos.

Capital = 100,00
Taxa = 5 % a.m.
Tempo = 6 meses

O primeiro passo é converter a nossa taxa para um número decimal. Neste caso, 5% = 0,05.

Ao se aplicar a fórmula, tem-se:

$M = C * (1+i)^t$
$M = 100 * (1+0,05)^6$
$M = 100 * 1,05^6$

O termo $1,05^6$ é um exemplo de uma potenciação. Neste exemplo, significa que devemos multiplicar o valor 1,05 por ele mesmo 6 vezes, ou seja:

$1,05^6 = 1,05 * 1,05 * 1,05 * 1,05 * 1,05 * 1,05 = 1,340$

Para facilitar os cálculos, segue uma tabela com alguns exemplos de taxas comuns e seus respectivos valores $(1 + i)^t$.

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Se analisarmos a variação dos juros mês a mês, fica fácil entender a diferença entre os 2 sistemas.

Capital = 100,00
Após 1 mês = 5% de 100,00 = 5,00 + 100,00 = 105,00
Após 2 meses = 5% de 105,00 = 5,25 + 100,00 = 110,25
Após 3 meses = 5% de 110,25 = 5,51 + 110,25 = 115,76
Após 4 meses = 5% de 115,76 = 5,79 + 115,76 = 121,55
Após 5 meses = 5% de 121,55 = 6,08 + 121,55 = 127,63
Após 6 meses = 5% de 127,63 = 6,38 + 127,63 = 134,01

O sistema de Juros Compostos gera um montante maior que o de Juros Simples, quando analisado um mesmo período.

A diferença entre os dois se tornará maior quanto maior for o período. O empréstimo de 100 reais, por exemplo, quando pago após 120 meses (10 anos) geraria um montante de 700,000 no sistema de juros simples, e 34.891,20 no regime composto - por isso os bancos usam juros compostos.

Exercícios

Converta os prazos abaixo para dias:
a) 1 mês
b) 1 mês e meio
c) 2 meses
d) 2 trimestres
e) 3 semestres
f) 1 ano e meio
Converta os prazos abaixo para meses:
a) 2 bimestres
b) 3 trimestres
c) 4 semestres
d) 5 anos e 5 meses
Converta as taxas abaixo para o seu valor decimal:
a) 1%
b) 2,5%
c) 5%
d) 10%
e) 15%
f) 25%
g) 50%
h) 75%
i) 100%
j) 150%
k) 500%
Converta as taxas decimais abaixo para os valores percentuais (%).
a) 0,0151
b) 0,352
c) 0,5
d) 0,18
e) 1,25
f) 5,05
Converta as taxas abaixo para % a.m.:
a) 12% ao ano
b) 6% ao semestre
c) 45% ao trimestre
d) 36% ao ano
e) 20% ao bimestre

Identifique, nos exemplos abaixo, o capital, juros e montante. Calcule-os se necessário for.
a) João realizou um empréstimo de 2000,00 e após 5 meses pagou 220,00 de juros.
b) Após comprar um produto por 55,00, Maricleuza vendeu o mesmo por 85,00.
c) Mário realizou um financiamento estudantil e, após alguns meses, pagou um total de 1200,00, dos quais 300,00 foram de juros.
Calcule os juros correspondentes à aplicação de 2.400,00 por cinco meses, à taxa de 2,5% ao mês.
Calcule o montante referente a um capital de 15.000,00, aplicado à taxa de juros simples de 15% ao trimestre, ao longo de 20 meses.
Paulo emprestou 200,00, a juros simples comerciais, lucrando 55,00 de juros. Sabendo-se que o prazo de aplicação foi de 150 dias, calcule a taxa de juros utilizada.
Qual o capital inicial que deve ser aplicado à uma taxa de 2% a.m., para ao final de 1 ano gerar 6.000,00, nos regimes de juros simples?
Cidinha tem um pequeno comércio e pede emprestado aos pais R$ 5.000,00, para capital de giro. Ela propõe pagar os juros todo mês e oferece uma taxa de 2,5% ao mês. Após 1 ano Cidinha devolve o dinheiro conforme combinado. Qual o montante que ela pagou aos pais?
Um empréstimo de R$ 24.000,00 após 8 meses rendeu R$ 1.800,00 de juros simples. Calcule a taxa mensal e anual aproximada usada para remunerar esse empréstimo.
Calcule os juros compostos correspondentes à aplicação de R$ 3.500,00 por dois anos, à taxa de 1,25% ao mês.
Calcule o montante referente a um capital de R$ 12.000,00, aplicado á taxa de juros compostos de 12% ao trimestre, ao longo de 1 ano e meio.
Qual o capital inicial que deve ser aplicado à uma taxa de 3,50% a.m., para ao final de 1 ano gerar um montante de R$ 6.000,00, nos regimes de juros compostos?
Determinado capital gerou, após 1 ano e 3 meses, um montante de R$ 12.000,00. Sabendo que a taxa de juros é de 1,75% ao mês, determine o valor desse capital.
Uma empresa A aplica um capital de 200 mil reais, em janeiro de 2018, em um investimento que proporciona uma taxa de juro composto de 4,5% ao ano. A empresa B aplica 150 mil reais, também em janeiro de 2018, a uma taxa de 8% ao ano. Calcule o retorno dos investimentos das empresas após 1 ano de aplicação.
Calcule o montante referente a uma aplicação de $ 4.100,00, feita por seis meses no regime dos juros compostos à taxa de 9% ao trimestre.
Maricleuza deseja fazer um empréstimo, no valor de R$ 2.000 para ser pago em 2 anos. Ao consultar um amigo próximo, o mesmo resolve emprestá-la o valor, cobrando uma taxa de juros simples de 2,5% a.m. Sabendo que a agência bancária de Maricleuza oferece o mesmo empréstimo a uma taxa de juros compostos de 18% a.a., calcule a aplicação que gerará menos juros.
Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:

a) Investimento A: 3% ao mês ao sistema de juros simples.
b) Investimento B: 36% ao ano ao sistema de juros compostos.
c) Investimento C: 18% ao semestre ao sistema de juros simples.

Calcule o montante produzido por cada investimento.

Referências Bibliográficas

BACARJI, Alencar Garcia. Formação Incial e Continuada Auxiliar Administrativo. Curitiba: Instituto Federal do Paraná, 2012. Disponível em https://bit.ly/3e9aqsA. Acesso em 27 de mar. de 2020.

CARAVANTES, G. R.P; KLOECKNER, C. M.; PANNO, C. Administração: teoria e processos. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005.

JUNIOR, R. J. M. Matemática Financeira. Curitiba, PR: Instituto Federal do Paraná, 2012. 176 p. Disponível em https://bit.ly/2JRzNkL. Acesso em 27 de mar. de 2020.

SÁ, C. A. Matemática Financeira. Rio de Janeiro: FGV Management – Cursos de Educação Continuada. 54p. Disponível em https://bit.ly/39XbhZY. Acesso em 27 de mar. de 2020.

VIANNA, R. de M. I. Matemática financeira. Salvador: UFBA, Faculdade de Ciências Contábeis; Superintendência de Educação a Distância, 2018. 131 p. : il. Disponível em https://bit.ly/2UVPNZf. Acesso em 27 de mar. de 2020.